动态规划

Dynamic Programming

Levenshtein

Levenshtein 距离,又叫编辑距离(Edit Distance),指从一个字符串转成另一个字符串所需要最少编辑次数。编辑距离越大,说明两个字符串越不相似。编辑操作包括插入、删除、替换字符。

举个例子:sitting -> kitten

kitting  (s -> k)
kitteng  (i -> e)
kitten   (  <- g)

相似度计算公式为1 - editDistance / Math.max(str1.length, str2.length)

sitting 和 kitten 两个字符串的编辑距离为3。相似度为1-3/Math.max(6,7)4/7

主要应用领域

  • DNA序列分析
  • 拼音检查
  • 语音辨识
  • 抄袭侦测
  • 字符串近似搜索

算法

定义函数edit(n,m),计算长度为n的字符串str1和长度为m的字符串str2的编辑距离。

通过动态规划将问题分解为3个部分。

  1. if(n == 0) edit(n,m) = m
  2. if(m == 0) edit(n,m) = n
  3. if(n > 0 && m > 0) edit(n,m) = Math.min(edit(n-1,m)+1, edit(n,m-1)+1, edit(n-1,m-1)+f(n,m) ),其中f(n,m)的值取决于str1的第n个字符是否等于str2的第m个字符,如果相等,则为0,反之为1

图解:首先初始化一个(n+1)*(m+1)的矩阵,以str1="sitting"str2="kitten"为例,构造一个8*7的矩阵如下。

有帮助的截图

根据蓝色部分,edit(1,1) = Math.min(edit(0,1)+1, edit(1,0)+1, edit(0,0)+f(1,1)) = 1

有帮助的截图

依此类推,直到计算到edit(n,m)

有帮助的截图

代码实现

def getLevenshteinSimilarity(str1: String, str2: String): Double = {

    val n = str1.length
    val m = str2.length
    val matrix: Array[Array[Int]] = Array.ofDim(n + 1, m + 1)

    for (i <- 0 to n) {
      for (j <- 0 to m) {

        if (i == 0) matrix(i)(j) = j
        else if (j == 0) matrix(i)(j) = i
        else {

          var f: Int = 0
          val char_i = str1.charAt(i - 1)
          val char_j = str2.charAt(j - 1)

          if (char_i != char_j) f = 1

          matrix(i)(j) = Math.min(matrix(i - 1)(j - 1) + f, Math.min(matrix(i - 1)(j) + 1, matrix(i)(j - 1) + 1))
        }
        print(s"[${matrix(i)(j)}] ")
      }
      println
    }

    1 - matrix(n)(m).asInstanceOf[Double] / Math.max(n, m)

}
def main(args: Array[String]): Unit = {
    println(s"similarity is ${getLevenshteinSimilarity("sitting", "kitten")}")
}

运行结果如下:

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] 
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[2] [2] [1] [2] [3] [4] [5] 
[3] [3] [2] [1] [2] [3] [4] 
[4] [4] [3] [2] [1] [2] [3] 
[5] [5] [4] [3] [2] [2] [3] 
[6] [6] [5] [4] [3] [3] [2] 
[7] [7] [6] [5] [4] [4] [3] 
similarity is 0.5714285714285714

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